Función Racional

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no


Su comportamiento cerca de los ejes, se debe a sus valores excluidos de su Dominio: todos los números reales excepto el cero y Alcance: todos los números reales excepto el cero;  por eso es que se acerca y no los toca dado que todos los pares ordenados sobre los ejes tienen uno de sus coordenadas igual a cero. A las líneas imaginarias, en este caso los ejes, se le conocen como las asíntotas de la función racional, de allí decimos que la función tiene comportamiento asintótico en los ejes.  En la medida que cambiamos los polinomios  así también cambian las asíntotas de su grafica.

Las Asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por los menos una de las variables (x o y) tiende al infinito. Para saber el tipo de asíntota que tiene la gráfica de una función racional debemos conocer claramente los criterios de las mismas:

Criterios para hallar las asíntotas de las gráficas de funciones racionales

     Dado f(x)=(a_nxⁿ+…+ax+a₀)/(b_mx^m+...+bx+b₀) tenemos que sus ...

Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca)
Estas existen en los valores de la variable x que hace cero el denominador, en otras palabras en los valores de x excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la gráfica con líneas verticales  entrecortadas, para así excluir de la gráfica todos los pares ordenados que tengan este valor de x.
Si la función racional simplifica y con ello se cancela un factor no numérico, o sea con variable, entonces este valor deja de ser una asíntota vertical para ser un hueco en la gráfica.

Ejemplo #1:
Mencione las asíntotas verticales de la función f(x)= (x-3)/(x²-9).
Solución:
Estas asíntotas se obtienen igualando a cero el denominador. En esta ecuación es necesario factorizar y simplificar antes de buscar las asíntotas verticales. Al simplificar un factor del numerador con un factor del denominador surge un hueco. La coordenada horizontal de este se obtiene igualando a cero el factor simplificado. En este ejemplo el hueco es un punto cuya coordenada en x es 3.

     Asíntotas verticales: x=-1         Huecos: Hay un hueco en x=3

2) Asíntotas Horizontales (la gráfica si puede  tocarlas o intersecarlas)
Los valores de la variable y que se representa como una asíntota horizontal se obtiene al comparar los grados de los polinomios (numerador y denominador) de la función racional n y m, respectivamente, veamos…

i) Si n < m entonces y=0, el eje de x, es la asíntota horizontal

ii) Si n = m entonces y=a_n/b_m, es la asíntota horizontal

iii) Si n > m entonces no hay asíntota horizontal.

Ejemplo #2:

Mencione la asíntota horizontal de la función f(x)= (4x²-1)/(3x²-9x).

Solución:

 El grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 2, por lo tanto cumple con el criterio ii (ambos grados son iguales), la ecuación de la asíntota horizontal se obtiene con  y=a_n/b_m donde, a_n=4 y b_m=3 por lo tanto esta será y=4/3 .

3)   Asíntotas Oblicuas u Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)

Estas llegan cuando no hay asíntota horizontal. La asíntota que surge depende de la diferencia en los grados de los polinomios, si…

n – m =1, hay Asíntota lineal conocida como A. Oblicua

n – m =2, hay Asíntota Cuadrática

n – m =3, hay Asíntota Cúbica y así sucesivamente…

     Sea cualquiera de estas asíntotas la que llegue siempre será el cociente de la división de los polinomios indicados en la función. Ósea,  igual a la parte entera de la división.

Ejemplo #3:

Mencione la asíntota oblicua u otra de la función f(x)= (3x²)/(x+2).

Solución: 

El grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 1, por lo tanto cumple con el criterio iii, no hay asíntota horizontal y buscamos la diferencia en grado que es 1, la ecuación de la asíntota oblicua será  y = cociente. Esta asintota se obtiene realizando la división larga. En esta ocasión  y=3x-6 es la asíntota oblicua de la función.

El siguiente vídeo muestra como graficar la función 

Actividad 
Trabajo Práctico n°6: Función Racional